マニング公式の計算

HP50G のUser Manualに、MSLV機能の例題として、つぎの記述があります。 Page 7-5<br> Solution to simultaneous equations with MSLV<br> Example 2 - Entrance from a lake into an open channel<br> MSLV は、複数の方程式を元に、自動でNewton法を適用して数値解を得るという便利機能でありますが、今日の高機能電卓で、相当機能を持つものは、かなり少ないと思われます。おそらく、TI Nspire CAS くらいではないか ? 上記の例題では「Manning公式」の計算を行っております。では、Manning公式とはなんぞや ? ref. マニング公式 - Wikipedia<br> https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F 「ロバート・マニングによって考案された水の流れの速度（流速）に関する公式」とのことですが、公式自体は1本だけなので、このままならば、複数の式を扱うMSLVの出番はなさそう。 HP50G User Manual では、Manning formulaと、エネルギーに関する式を用意し、MSLVを適用する事で数値解を求めております。 この辺りの計算を、手持ちの fx-CG50 で出来ないもんか、と、色々とやってみたので、ここで開陳しておこうと思った次第。 但し、PDFにある通りの方程式をそのまま扱う機能(MSLVですネ)が、fx-CG50 にはありません。 そこで、問題を睨み、方程式を書き換えるという手段に訴える事とします。 まずは、例題の掲載しておきます。 基礎となる方程式 - $ H_0 = y + \frac {V^2} {2g} $ - $ Q = \frac { Cu} { n } \frac {A^{5/3}}{P^{2/3}} \sqrt {S_0} $ 補助となる計算式 - $ V = Q/A $ ... 流速 - $ A = (b+m y) y $ ... 「流積」 - $P=b+2 y \sqrt{1+m^2} $ ... 「潤辺」 定数 - $ Cu = 1.486 $ ... 単位係数 (フィート、ポンドを単位に使う場合) - $ n = 0.012 $ ... 粗度係数 (コンクリの場合) - $ S_0 = 0.00001 $ ... 「勾配」 - $ b = 1.5 $ ... 水路底の幅 (フィート) - $ m = 1 $ ... 「潤辺」の勾配 - $ g = 32.2 $ ... 重力加速度 - $ H_0 = 5 $ ... (エネルギー)水頭 (フィート) そして、求める変量 - $ Q $ ... 流量 - $ y $ ... 水路の深さ (フィート) 基礎となる方程式に、補助の計算式を突っ込んで変形、整理すると、最終的につぎの2本の方程式が得られました。 - $ Q = \frac{Cu}{n} \frac{((b+m y) y)^{5/3}} {(b+2 y \sqrt{m^2+1})^{2/3}} \sqrt{S_0} $ - $ H_0 = y+( \frac{Q}{y (b+m y)})^2 \frac {1}{2g} $ $Q$, $y$ 以外の変量は、上記の様に与えられておりますから、この2本の方程式を数値解で解ければいいのです。 fx-CG50 のCASIO BASICには、数値微分と行列計算機能があります。 そこで、これらを使い、Newton-Rafson法で上記方程式の数値解を求めるプログラムを作ってみたという次第です。 数値微分機能を偏微分に使っており、似たような数式を入力しておりますが、変数部分を一部変更しております。 飽くまでも実験として公開するものです。宜しくお願い申し上げます。 ``` 'ProgramMode:RUN ' 5.0->H 1.5->B 1.0->M 0.012->N 0.00001->S 32.2->G 1.486->C ' "Q="?->Q "Y="?->Y ' {2,2}->Dim Mat A {2,1}->Dim Mat B For 1->K To 10 ' (-)(C/N*(Y(B+MY))^(5/3)/((B+2YSqrt(M^<2>+1))^(2/3))*SqrtS-Q)->Mat B[1,1] d/dx(C/N*(Y(B+MY))^(5/3)/((B+2YSqrt(M^<2>+1))^(2/3))*SqrtS-X,Q)->Mat A[1,1] d/dx(C/N*(X(B+MX))^(5/3)/((B+2XSqrt(M^<2>+1))^(2/3))*SqrtS-Q,Y)->Mat A[1,2] ' (-)(Y+(Q/(Y(B+MY)))^2/(2G)-H)->Mat B[2,1] d/dx(Y+(X/(Y(B+MY)))^2/(2G)-H,Q)->Mat A[2,1] d/dx(X+(Q/(X(B+MX)))^2/(2G)-H,Y)->Mat A[2,2] ' Mat A^<-1>Mat B->Mat B ' Mat B[1,1]+Q->Q Mat B[2,1]+Y->Y ' Next "****** END" "Q="DispsQDisps"Y=" Y ```